1.5 Surds - 章节练习

基础练习

基础化简下列无理数：

a. \( \sqrt{18} \)

答案：\( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \)

b. \( \frac{\sqrt{28}}{2} \)

答案：\( \frac{\sqrt{28}}{2} = \frac{\sqrt{4 \times 7}}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7} \)

c. \( 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} - \sqrt{5} \)

答案：\( (3 + 2 - 1)\sqrt{5} = 4\sqrt{5} \)

d. \( 4\sqrt{7} - 2\sqrt{28} + \sqrt{63} \)

答案：先化简：\( \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \)，\( \sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = 3\sqrt{7} \)
代入：\( 4\sqrt{7} - 2(2\sqrt{7}) + 3\sqrt{7} = 4\sqrt{7} - 4\sqrt{7} + 3\sqrt{7} = 3\sqrt{7} \)

基础展开并化简（若可能）：

a. \( \sqrt{3}(2 + \sqrt{5}) \)

答案：\( 2\sqrt{3} + \sqrt{15} \)（无法进一步化简）

b. \( (3 + \sqrt{2})(4 - \sqrt{2}) \)

答案：\( 3 \times 4 + 3 \times (-\sqrt{2}) + \sqrt{2} \times 4 + \sqrt{2} \times (-\sqrt{2}) = 12 - 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 2 = 10 + \sqrt{2} \)

进阶练习

进阶化简并整理：

a. \( \sqrt{45} + \sqrt{80} - \sqrt{20} \)

答案：先化简：
\( \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5} \)
\( \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5} \)
\( \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} \)
代入：\( 3\sqrt{5} + 4\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = (3 + 4 - 2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \)

b. \( \frac{\sqrt{75} - \sqrt{12}}{\sqrt{3}} \)

答案：先化简分子：
\( \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \)
\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \)
分子：\( 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \)
分母：\( \sqrt{3} \)
结果：\( \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3 \)

进阶应用题

已知长方形的长为\( (2 + \sqrt{3}) \) cm，宽为\( (3 - \sqrt{3}) \) cm，求其面积（结果用精确形式表示）。

答案：面积 = 长 × 宽
\( (2 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3}) = 2 \times 3 + 2 \times (-\sqrt{3}) + \sqrt{3} \times 3 + \sqrt{3} \times (-\sqrt{3}) = 6 - 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3 = (6 - 3) + (-2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) = 3 + \sqrt{3} \)
所以面积为 \( 3 + \sqrt{3} \) 平方厘米。

练习技巧

💡 练习建议

先独立完成练习，再查看答案核对
注意化简时先分解质因数，找出完全平方数因子
合并同类无理数时，确保被开方数相同
展开含无理数的多项式时，注意分配律和符号运算
对于复杂表达式，可以分步化简，便于检查

通过不断练习，你将熟练掌握无理数的化简和运算技巧，为更高层次的数学学习打下坚实基础。

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